Información de análisis vectorial

APUNTES EN CLASE 
       
     DEFINICION DE GRADIENTE

Este se define como el campo vectorial cuyas funciones coordenadas son las derivadas parciales del campo escalar. 

Esto es: 

∇f = ( ∂f ∕ ∂x₁ , … , ∂f ∕ ∂x_n ) 

Un ejemplo especifico de esto, es el sig: 

Sea 
f : R³ → R, f (x,y,z) = xe^y 

Primero encontramos las derivadas parciales de la función con 
respecto a "x" y "y" 

∂f ∕ ∂x = ∂(xe^y) / ∂x = e^y 
∂f ∕ ∂y = ∂(xe^y) / ∂y = xe^y 
∂f ∕ ∂z = ∂(xe^y) / ∂z = 0 

Posteriormente aplicamos la definición 

∇f = (e^y ,xe^y ,0) 

Es así como encontramos el gradiente de una función 

Otro ejemplo relacionado a este tema, es el siguiente: 
¿Tiene f (z) = z² derivada en z=0? 

Empezamos de la siguiente manera 

f (x + iy) = (x + iy)² = x² + 2ixy – y² 
donde: u = x² – y²        v = 2xy 

∂u ∕ ∂x = ∂v ∕ ∂y 
∂v ∕ ∂x = – ∂u ∕ ∂y 
f = x² – y² + 2xy 
f_x = ∂ (x² – y² + 2ixy) / ∂x = 2x + 2iy = 2(x + iy) 
f_y = ∂ (x² – y² + 2ixy) / ∂y = – 2y + 2ix = 2(– y + ix) 
f_x + if_y = 2(x + iy) + 2i(– y + ix) 
= 2(x – x + iy – iy) = 0 

APUNTES DE CLASE

Resolver con diferencias finitas lo siguiente: 
df / dx = f ; f (0) = 1 
f (x) es una variable 
df / f = dx 
    _{lnf                  x 
 x} ∫ d ln f = ∫ dx ^l
                          _{ln f} 
ln f │ = x 
               ⁰ 
ln f = x 
f = e^x 
por otra forma:

(f_n+1 – f_n) / ε = f_n 
f_n+1 = f_n + ε f_n = (1 + ε) f_n 
1 + ε > 1 ; f₀ = 1 

 
f_n+1 = (1 + ε) f_n ; f₀ = 1 
Hallar   f_n 

De 
(f_n+1 – f_n) / ε = f_n ; n > 0 

f_n es monótona creciente f_n+1 = r f_n ; r >1 
r > 1 + ε ; b = 0 

Calculemos algunos valores que toma f para buscar un patrón 
n = 0 
f₁ = r f₀ = r    ;           ya que f(0) = 1 
f₂ = r f₁ = r · r f₀ = r²      ;     recurrencia 
·
·
·
 f_n = r ⁿ 

ahora por el método de inducción matemática tenemos: 
f_n+1 = r f_n 

por hipótesis 
f _n = r ⁿ 
f_n+1 = r ·r ⁿ = r ⁿ⁺¹ 
f_n+1                    también tiene la propiedad 

luego:        f_n = (1 + ε)ⁿ 
también:      x= nε   ↔   ε = x / n 

de: 
f_n = (1 + ε)ⁿ 

sustituimos: 
f_n = (1 + x/n)ⁿ 

luego: 
lim f_n = lim (1 + x/n)ⁿ = e^x
 n→∞    ^n→∞